Hieronder staat een voorbeeld van de vier beroemdste perfecte getallen: 6, 28, 496, 8128

Voorbeeld:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Hierop een kleine uitleg:

bijvoorbeeld: 6 = 1 + 2 + 3

6:1=6            ---> geen komma getal. Een 'heel' getal dus.

6:2=3            ---> ook geen komma getal.

6:3=2            ---> ook geen komma getal

het getal 6 is dus een heel bijzonder getal omdat je in dit geval 6: een getal doet waarbij de uitkomst een 'heel' getal is en alle getallen waar een ´heel´ getal uitkomt opgeteld samen 6 zijn.

De geschiedenis van de perfecte getallen.

De perfecte getallen zijn al heel lang geleden ontdekt. Waarschijnlijk studeerden de oude Grieken al op de perfecte getallen.

Het is bekend dat Pythagoras zich bezig hield met perfecte getallen. Perfecte getallen waren in die tijd iets heel bijzonders. Ze hadden toen een religieuze status. Toen het Christendom nog maar net bestond (omstreeks het jaar nul dus) was er een theorie dat god de getallen 6 en 28 zou hebben gekozen.

Het komt ook heel toevallig uit natuurlijk, want:

6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen volgens de bijbel.

en 28 het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait.

Wat opmerkelijk is, is dat de heilige Augustinus ooit heeft geschreven:

Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.

Rond het jaar 100 kwam Nicomachus van Gerasa met 5 stellingen. (Hij heeft ze niet bewezen, maar na enige tijd onderzoek is bewezen dat stelling 1 en 3 niet kloppen.)

1. Het n-de perfecte getal heeft n cijfers
2. Alle perfecte getallen zijn even
3. Alle perfecte getallen eindigen alternerend op 6 en 8
4. Perfecte getallen zijn te schrijven als 2^n-1*2ⁿ-1 als 2ⁿ-1 een priem is (zie ook boven)
5. Er is een oneindig aantal perfecte getallen

In Europa dacht men eeuwen lang dat deze stellingen werkelijk klopten. De Europeanen wisten niet dat er in de Arabische landen ook onderzoek werd gedaan naar deze bijzondere getallen. Dit onderzoek werd onder andere onder door Ibn-al-haytham en Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus gedaan.

De laatste wiskundige vond in het begin van de 13e eeuw de eerste zeven perfecte getallen, maar zijn werk werd pas eeuwen later in Europa ontdekt.

De vierde stelling van Nicomachus werd in Europa zelfs veralgemeend tot: Perfecte getallen zijn te schrijven als 2^n-1*2ⁿ-1 voor alle oneven getallen n. In 1536 bewees Hudalrichus Regius dat deze veralgemenisering niet klopte voor n=11: 2^11-1*2¹¹-1 is geen perfect getal. Ook bewees hij dat 2^13-1*2¹³-1 = 33.550.336 het vijfde perfecte getal is. Hiermee was meteen het ongelijk van de eerste stelling van Nicomachus bewezen: het vijfde perfecte getal heeft een lengte van acht cijfers. In 1603 vond Cataldi het zesde perfecte getal 2^16-1*2¹⁶-1 = 8.589.869.056. Hiermee was bewezen dat de derde stelling van Nicomachus niet klopte, aangezien zowel het vijfde als het zesde perfecte getal op een zes eindigen. Cataldi vond ook het zevende perfecte getal 2^18-1*2¹⁹-1 = 137.438.691.328. Ricaldi claimde nog een viertal andere perfecte getallen gevonden te hebben, maar later werd aangetoond dat slechts één van deze vier getallen juist was.

Start | Onvolledige getallen | Overvloedige getallen | Perfecte getallen | Priem getallen | Samenhang | GRM programmatjes | Gastenboek | Conclusie/Slot